一、引言
如果现在你想制作一张二维地图，上面要标出西安的兵马俑、北京的故宫、上海的东方明珠，还有苏州的每一座园林、武汉的每一家热干面馆，这做得到吗？
有人说，做得到，顺便打开了高德地图或者百度地图。可是别忘了，地球是个球体，上面的这些地点其实都位于球面上。所以所有的二维平面地图都有一定程度的失真 —— 比如俄罗斯在地图上似乎有中国的三四倍大小，但实际面积却只有 1.7 倍。
好吧，那就做个三维地图就好了？就像地球仪那样。这样确实有道理，但想像这么一个场景：你想知道从北京的故宫沿直线走路去上海的东方明珠所需要的时间，于是你找到了它们在三维地图中分别对应的两个点 —— 下一步，是测量下这两个点的直线距离，然后除以比例尺，再除以走路的速度吗？
答案是否定的！
因为你走路只会在球面上走，所以你所谓的“沿直线走路”，并不是真的直线，而是球面上连接两点的弧线中最短的那条。所以球面上两点之间的“距离”，其本质乃是球面上一段弧的长度，而非在三维空间中直接沿直线相连的长度。要想从三维地图上知道你走路所需要的时间，你需要拿一把尺子，先把零刻度线对准北京故宫，再向着上海东方明珠的方向，缓缓沿球面转动尺子，直到某个刻度线碰到了上海的东方明珠；这时你把此时尺子的读数除以比例尺，再除以走路速度，这才是你想计算的时间。
那么问题来了 —— 给定一个球面，你能否找到一种办法，把球面上的每个点都唯一地映射到三维空间中，使得每个点原本在球面上的距离，恰好等于映射后在三维空间中的直线距离？如果三维不行，四维呢？五维呢？$n$ 维呢？
这正是本次 UER #10 的 B 题 重构元宇宙 想讨论的问题。该题大意是：给定 $n$ 个点两两之间的距离，你能把他们画在 $k$ 维空间中，且保持所有点两两之间的距离不变吗？还有个附加条件是，对两点之间的距离的查询次数不能超过 $n(k+1)$。为避免精度误差，原题的点的坐标是随机的。这里还有一个加强版，去掉了这个随机性的条件，供勇士们挑战。
所以，要想知道球面上的距离能不能被映射为某个欧式空间的距离，我们只需要先假设它们可以表示为 $k$ 维空间中的距离，然后带到这道 B 题的程序里，看看程序输出的结果是否真的满足假设。
实际生活中或者科学研究中，我们会碰到很多种“距离”，它们的具体定义取决于实际的应用，而非总是像欧式空间一样，把每一维坐标相减，平方加起来，再开根号。例如上面举例的球面上的距离，人们是为了地理上的用途而定义它，在计算中国到美国的飞机行程时也会使用它。如果有一个想从中国去往美国的旅行者，对欧式距离爱得深沉，一定要让自己旅行的时间与欧式距离成正比，那他只能强行通过钻入地下、穿过地心的方式去往美国了。
那么这道题到底该怎么做呢？
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